Как определить скорость при неравномерном движении. Скорость тела при неравномерном движении. Виды неравномерного движения

Скатывание тела по наклонной плоскости (рис. 2);

Рис. 2. Скатывание тела по наклонной плоскости ()

Свободное падение (рис. 3).

Все эти три вида движения не являются равномерными, то есть в них изменяется скорость. На этом уроке мы рассмотрим неравномерное движение.

Равномерное движение – механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит одинаковое расстояние (рис. 4).

Рис. 4. Равномерное движение

Неравномерным называется движение , при котором тело за равные промежутки времени проходит неравные пути.

Рис. 5. Неравномерное движение

Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. При неравномерном движении скорость тела меняется, следовательно, необходимо научиться описывать изменение скорости тела. Для этого вводятся два понятия: средняя скорость и мгновенная скорость.

Факт изменения скорости тела при неравномерном движении не всегда необходимо учитывать, при рассмотрении движении тела на большом участке пути в целом (нам не важна скорость в каждый момент времени) удобно ввести понятие средней скорости.

Например, делегация школьников добирается из Новосибирска в Сочи поездом. Расстояние между этими городами по железной дороге составляет приблизительно 3300 км. Скорость поезда, когда он только выехал из Новосибирска составляла , значит ли это, что посередине пути скорость была такой же, а на подъезду к Сочи [М1] ? Можно ли, имея только эти данные, утверждать, что время движения составит (рис. 6). Конечно нет, так как жители Новосибирска знают, что до Сочи ехать приблизительно 84 ч.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Когда рассматривается движение тела на большом участке пути в целом, удобнее ввести понятие средней скорости.

Средней скоростью называют отношение полного перемещения, которое совершило тело, ко времени, за которое совершено это перемещение (рис. 7).

Рис. 7. Средняя скорость

Данное определение не всегда является удобным. Например, спортсмен пробегает 400 м – ровно один круг. Перемещение спортсмена равно 0 (рис. 8), однако мы понимаем, что его средняя скорость нулю равна быть не может.

Рис. 8. Перемещение равно 0

На практике чаще всего используется понятие средней путевой скорости.

Средняя путевая скорость – это отношение полного пути, пройденного телом, ко времени, за которое путь пройден (рис. 9).

Рис. 9. Средняя путевая скорость

Существует еще одно определение средней скорости.

Средняя скорость – это та скорость, с которой должно двигаться тело равномерно, чтобы пройти данное расстояние за то же время, за которое оно его прошло, двигаясь неравномерно.

Из курса математики нам известно, что такое среднее арифметическое. Для чисел 10 и 36 оно будет равно:

Для того чтобы узнать возможность использования этой формулы для нахождения средней скорости, решим следующую задачу.

Задача

Велосипедист поднимается со скоростью 10 км/ч на склон, затрачивая на это 0,5 часа. Далее со скоростью 36 км/ч спускается вниз за 10 минут. Найдите среднюю скорость велосипедиста (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Дано: ; ; ;

Найти:

Решение:

Так как единица измерения данных скоростей – км/ч, то и среднюю скорость найдем в км/ч. Следовательно, данные задачи не будем переводить в СИ. Переведем в часы.

Средняя скорость равна:

Полный путь () состоит из пути подъема на склон () и спуска со склона ():

Путь подъема на склон равен:

Путь спуска со склона равен:

Время, за которое пройден полный путь, равно:

Ответ: .

Исходя из ответа задачи, видим, что применять формулу среднего арифметического для вычисления средней скорости нельзя.

Не всегда понятие средней скорости полезно для решения главной задачи механики. Возвращаясь к задаче про поезд, нельзя утверждать, что если средняя скорость на всем пути поезда равна , то через 5 часов он будет находиться на расстоянии от Новосибирска.

Среднюю скорость, измеренную за бесконечно малый промежуток времени, называют мгновенной скоростью тела (для примера: спидометр автомобиля (рис. 11) показывает мгновенную скорость).

Рис. 11. Спидометр автомобиля показывает мгновенную скорость

Существует еще одно определение мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – скорость движения тела в данный момент времени, скорость тела в данной точке траектории (рис. 12).

Рис. 12. Мгновенная скорость

Для того чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим пример.

Пусть автомобиль движется прямолинейно по участку шоссе. У нас есть график зависимости проекции перемещения от времени для данного движения (рис. 13), проанализируем данный график.

Рис. 13. График зависимости проекции перемещения от времени

На графике видно, что скорость автомобиля не постоянная. Допустим, необходимо найти мгновенную скорость автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения (в точке A ). Пользуясь определением мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до . Для этого рассмотрим фрагмент данного графика (рис. 14).

Рис. 14. График зависимости проекции перемещения от времени

Для того чтобы проверить правильность нахождения мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до , для этого рассмотрим фрагмент графика (рис. 15).

Рис. 15. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Получили два значения мгновенной скорости автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения. Точнее будет то значение, где интервал времени меньше, то есть . Если уменьшать рассматриваемый интервал времени сильнее, то мгновенная скорость автомобиля в точке A будет определяться более точно.

Мгновенная скорость – это векторная величина. Поэтому, кроме ее нахождения (нахождения ее модуля), необходимо знать, как она направлена.

(при ) – мгновенная скорость

Направление мгновенной скорости совпадает с направлением перемещения тела.

Если тело движется криволинейно, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (рис. 16).

Задание 1

Может ли мгновенная скорость () изменяться только по направлению, не изменяясь по модулю?

Решение

Для решения рассмотрим следующий пример. Тело движется по криволинейной траектории (рис. 17). Отметим на траектории движения точку A и точку B . Отметим направление мгновенной скорости в этих точках (мгновенная скорость направлена по касательной к точке траектории). Пусть скорости и одинаковы по модулю и равны 5 м/с.

Ответ: может.

Задание 2

Может ли мгновенная скорость меняться только по модулю, не меняясь по направлению?

Решение

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

На рисунке 10 видно, что в точке A и в точке B мгновенная скорость направлена одинаково. Если тело движется равноускоренно, то .

Ответ: может.

На данном уроке мы приступили к изучению неравномерного движения, то есть движения с изменяющейся скоростью. Характеристиками неравномерного движения являются средняя и мгновенная скорости. Понятие о средней скорости основано на мысленной замене неравномерного движения равномерным. Иногда понятие средней скорости (как мы увидели) является очень удобным, но для решения главной задачи механики оно не подходит. Поэтому вводится понятие мгновенной скорости.

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Интернет-портал «School-collection.edu.ru» ().
2. Интернет-портал «Virtulab.net» ().

Домашнее задание

1. Вопросы (1-3, 5) в конце параграфа 9 (стр. 24); Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы)
2. Можно ли, зная среднюю скорость за определенный промежуток времени, найти перемещение, совершенное телом за любую часть этого промежутка?
3. Чем отличается мгновенная скорость при равномерном прямолинейном движении от мгновенной скорости при неравномерном движении?
4. Во время езды на автомобиле через каждую минуту снимались показания спидометра. Можно ли по этим данным определить среднюю скорость движения автомобиля?
5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км в час, вторую треть - со скоростью 16 км в час, а последнюю треть - со скоростью 24 км в час. Найдите среднюю скорость велосипеда на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/час

При неравномерном движении тело может за равные промежутки времени проходить как равные, так и разные пути.

Для описания неравномерного движения вводится понятие средней скорости .

Средняя скорость, по данному определению, величина скалярная потому, что путь и время величины скалярные.

Однако среднюю скорость можно определять и через перемещение согласно уравнению

Средняя скорость прохождения пути и средняя скорость перемещения – это две разные величины, которые могут характеризовать одно и то же движение.

При расчете средней скорости очень часто допускается ошибка, состоящая в том, что понятие средней скорости подменяется понятием среднего арифметического скоростей тела на разных участках движения. Чтобы показать неправомерность такой подмены рассмотрим задачу и проанализируем ее решение.

Из пункта A в пункт B выходит поезд. Половину всего пути поезд движется со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 50 км/ч.

Чему равна средняя скорость движения поезда на участке AB ?

Движение поезда на участке AC и на участке CB равномерное. Взглянув на текст задачи, нередко сразу хочется дать ответ: υ ср = 40 км/ч.

Да потому, что нам кажется, что для вычисления средней скорости вполне подходит формула, используемая для расчета среднего арифметического.

Давайте разберемся: можно ли использовать эту формулу и рассчитывать среднюю скорость путем нахождения полусуммы заданных скоростей.

Для этого рассмотрим несколько иную ситуацию.

Допустим, мы правы и средняя скорость действительно равна 40 км/ч.

Тогда решим другую задачу.

Как видно, тексты задач очень похожи, есть только «очень маленькая» разница.

Если в первом случае речь идет о половине пути, то во втором случае речь идет о половине времени.

Очевидно, что точка C во втором случае находится несколько ближе к точке A , чем в первом случае, и ожидать одинаковых ответов в первой и второй задаче, вероятно, нельзя.

Если мы, решая вторую задачу, так же дадим ответ, что средняя скорость равна полусумме скоростей на первом и втором участке, мы не можем быть уверены, что мы решили задачу правильно. Как быть?

Выход из положения следующий: дело в том, что средняя скорость не определяется через среднее арифметическое . Есть определяющее уравнение для средней скорости, согласно которому для нахождения средней скорости на некотором участке, надо весь путь, пройденный телом, поделить на все время движения:

Начинать решение задачи нужно именно с формулы, определяющей среднюю скорость, даже если нам кажется, что мы в каком-то случае можем использовать более простую формулу.

Будем двигаться от вопроса к известным величинам.

Неизвестную величину υ ср выражаем через другие величины – L 0 и Δ t 0 .

Оказывается, что обе эти величины неизвестны, поэтому мы должны выразить их через другие величины. Например, в первом случае: L 0 = 2 ∙ L , а Δ t 0 = Δ t 1 + Δ t 2 .

Подставим эти величины, соответственно, в числитель и знаменатель исходного уравнения.

Во втором случае мы поступаем точно так же. Нам не известен весь путь и все время. Выражаем их: и

Очевидно, что время движения на участке AB во втором случае и время движения на участке AB в первом случае различны.

В первом случае, поскольку нам неизвестны времена и мы попытаемся выразить и эти величины: а во втором случае мы выражаем и :

Подставляем выраженные величины в исходные уравнения.

Таким образом, в первой задаче имеем:

После преобразования получаем:

Во втором случае получаем а после преобразования:

Ответы, как и было предсказано, различны, но во втором случае мы получили, что средняя скорость действительно равняется полусумме скоростей.

Может возникнуть вопрос, а почему сразу нельзя воспользоваться этим уравнением и дать такой ответ?

Дело в том, что записав, что средняя скорость на участке AB во втором случае равна полусумме скоростей на первом и на втором участках, мы бы представили не решение задачи, а готовый ответ . Решение же, как видно, достаточно длинное, и начинается оно с определяющего уравнения. То, что мы в данном случае получили уравнение, которое хотели использовать изначально – чистая случайность.

При неравномерном движении скорость тела может непрерывно меняться. При таком движении скорость в любой последующей точке траектории будет отличаться от скорости в предыдущей точке.

Скорость тела в данный момент времени и в данной точке траектории называют мгновенной скоростью .

Чем больше промежуток времени Δ t , тем средняя скорость больше отличается от мгновенной. И, наоборот, чем меньше промежуток времени, тем меньше средняя скорость отличается от интересующей нас мгновенной скорости.

Определим мгновенную скорость как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени :

Если речь идет о средней скорости перемещения, то мгновенная скорость является величиной векторной:

Если речь идет о средней скорости прохождения пути, то мгновенная скорость является величиной скалярной:

Часто встречаются случаи, когда при неравномерном движении скорость тела меняется за равные промежутки времени на одну и ту же величину.

При равнопеременном движении скорость тела может, как уменьшаться, так и увеличиваться.

Если скорость тела увеличивается, то движение называется равноускоренным, а если уменьшается – равнозамедленным.

Характеристикой равнопеременного движения служит физическая величина, называемая ускорением .

Зная ускорение тела и его начальную скорость, можно найти скорость в любой наперед заданный момент времени:

В проекции на координатную ось 0X уравнение примет вид: υ x = υ 0 x + a x ∙ Δ t .

Основные положения:

Неравномерное движение – это движение с переменной скоростью.

Мгновенная скорость – это векторная физическая величина, равная пределу отношения перемещения тела к промежутку времени, стремящимся к нулю.

Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным . В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна отношению пройденного пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

Средняя скорость при неравномерном движении – отношение вектора перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Для характеристики изменения скорости движения вводится понятие ускорения .

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

Мгновенным ускорением, или ускорением материальной точки в момент времени t, будет предел среднего ускорения:

Движение, происходящее с постоянным ускорением, называется равнопеременным.

Уравнение равнопеременного движения : .

Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие: тангенциальное и центростремительное ускорение.

Тангенциальное ускорение показывает быстроту изменения модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости при криволинейном движении.

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

;

.

Контрольные вопросы:

1. Дать определение неравномерного движения.

2. Что называют равнопеременным движением?

3. Дайте определение мгновенной скорости.

4. Как направлен вектор мгновенной скорости?

5. Дайте определение мгновенного ускорения. В каких единицах измеряется?

6. Как направлены тангенциальное и центростремительное ускорение относительно кривизны траектории?

7. Дайте определение угловой скорости. Ее единицы измерения.

Выполните задания:

1. Напишите формулы зависимости:

а) частоты вращения от периода;

б) угловой скорости от периода;

в) угловой и линейной скорости;

г) угловой скорости от частоты;

д) центростремительного ускорения от скорости;

е) линейной скорости от частоты вращения;

ж) линейной скорости от периода.

1. Равномерное движение встречается нечасто. Обычно механическое движение - это движение с изменяющейся скоростью. Движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется, называют неравномерным .

Например, неравномерно движется транспорт. Автобус, начиная движение, увеличивает свою скорость; при торможении его скорость уменьшается. Падающие на поверхность Земли тела также движутся неравномерно: их скорость с течением времени возрастает.

При неравномерном движении координату тела уже нельзя определить по формуле x = x 0 + v x t , так как скорость движения не является постоянной. Возникает вопрос, какая же величина характеризует быстроту изменения положения тела с течением времени при неравномерном движении? Такой величиной является средняя скорость .

Средней скоростью v ср неравномерного движения называют физическую величину, равную отношению перемещения s тела ко времени t , за которое оно совершено:

Средняя скорость является векторной величиной . Для определения модуля средней скорости в практических целях этой формулой можно воспользоваться лишь в том случае, когда тело движется вдоль прямой в одну сторону. Во всех остальных случаях эта формула непригодна.

Рассмотрим пример. Необходимо рассчитать время прибытия электрички на каждую станцию по пути следования. При этомее движение не является прямолинейным. Если расчитывать модуль средней скорости на участке между двумя станциями, пользуясь приведенной формулой, то полученное значение будет отличаться от значения средней скорости, с которым двигалась электричка, поскольку модуль вектора перемещения меньше пройденного электричкой пути. А средняя скорость движения этой электрички из начального пункта до конечного пункта и обратно в соответствии с приведенной формулой и вовсе равна нулю.

На практике при определении средней скорости пользуются величиной, равной отношению пути l ко времени t , за которое этот путь пройден:

v ср = .

Ее часто называют средней путевой скоростью .

2. Зная среднюю скорость тела на каком‑либо участке траектории, нельзя определить его положение в любой момент времени. Предположим, что автомобиль проехал путь 300 км за 6 ч. Средняя скорость движения автомобиля равна 50 км/ч. Однако при этом он мог какое‑то время стоять, какое‑то время двигаться со скоростью 70 км/ч, какое‑то время - со скоростью20 км/ч и т. п.

Очевидно, что, зная среднюю скорость движения автомобиля за 6 ч, мы не можем определить его положение через 1 ч, через 2 ч, через 3 ч и т. п.

3. При движении тело проходит последовательно все точки траектории. В каждой точке оно находится в определенные моменты времени и имеет какую‑то скорость.

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

Предположим, что тело совершает неравномерное прямолинейное движение. Определим скорость движения этого тела в точке O его траектории (рис. 21). Выделим на траектории участок AB , внутри которого находится точка O . Перемещение s 1 на этом участкетело совершило за время t 1 . Средняя скорость движения на этом участке - v ср 1 = .

Уменьшим перемещение тела. Пусть оно равно s 2 , а время движения - t 2 . Тогда средняя скорость тела за это время: v ср 2 = .Еще уменьшим перемещение, средняя скорость на этом участке: v ср 3 = .

Будем и дальше уменьшать время движения тела и соответственно его перемещение. В конце концов перемещение и время станут такими маленькими, что прибор, например спидометр в машине, перестанет фиксировать изменение скорости и движение за этот малый промежуток времени можно будет считать равномерным. Средняя скорость на этом участке и есть мгновенная скорость тела в точке O .

Таким образом,

мгновенная скорость - векторная физическая величина, равная отношению малого перемещения D s к малому промежутку времени Dt , за которое это перемещение совершено:

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют неравномерным?

2. Что называют средней скоростью?

3. Что показывает средняя путевая скорость?

4. Можно ли, зная траекторию движения тела и его среднюю скорость за определенный промежуток времени, определить положение тела в любой момент времени?

5. Что называют мгновенной скоростью?

6. Как вы понимаете выражения «малое перемещение» и «малый промежуток времени»?

Задание 4

1. Автомобиль проехал по московским улицам 20 км за 0,5 ч, при выезде из Москвы он стоял в течение 15 мин, а за следующие1 ч 15 мин проехал по Подмосковью 100 км. С какой средней скоростью двигался автомобиль на каждом участке и на всем пути?

2. Чему равна средняя скорость движения поезда на перегоне между двумя станциями, если первую половину расстояния между станциями он проешел со средней скоростью 50 км/ч, а вторую - со средней скоростью 70 км/ч?

3. Чему равна средняя скорость движения поезда на перегоне между двумя станциями, если половину времени он прошел со средней скоростью 50 км/ч, а оставшееся время - со средней скоростью 70 км/ч?